《振動噪音科普專欄》單自由度系統的自由振動響應,其頻譜有甚麼特徵?


 這個單元的主題,要來看如圖示的「外力激振(force excitation) 的「單自由度系統(single degree-of-freedom, SDOF, system),他的「自由振動(free vibration),也就是沒有外力作用下,只有「初始條件(initial condition)的系統響應,其頻譜(spectrum)有甚麼特徵?

 

首先,回顧一下這個「外力激振」「單自由度系統」,參考圖示左上方,是此系統數學模型(mathematical model)示意圖。其中,

 

1.          系統參數(system parameters),就是:mck,分別是質塊的「質量」、彈簧的「黏滯阻尼係數」、彈簧的「彈簧常數」。

2.          輸入」是f(t),為系統的外力,以及質塊本身的「初始位移X0及「初始速度V0

3.          輸出」是x(t),為系統質塊的位移響應。

 

若是對此「單自由度系統」,進行「理論模態分析」,可以得到兩個「模態參數」,在此單自由度系統的「模態參數」為:

 

1.          自然頻率」,ωn=2πfn=(k/m)^0.5

2.          阻尼比」,ξ=c/Cc。其中,c是「黏滯阻尼係數」,Cc=2*(mk)^0.5=2mωn,是「臨界黏滯阻尼係數」。

 

所以,由「系統參數」:mck,就可以求得「自然頻率fn以及「阻尼比ξ

 

參考左下方圖示,是以ISO的方式,繪製其系統方塊圖(system block diagram),其中:

 

1.      Input 輸入f(t),為系統的外力,以及「初始位移X0及「初始速度V0

2.      System 系統mck

3.      Output 輸出x(t),為系統質塊的位移響應。

 

f(t)=0,也就是沒有外力作用下,稱為「自由振動」,在「次阻尼」狀態:0<ξ<1,其系統位移響應,可寫成:x(t)=X e^(-σt) cos(2πfn t-φ),各個參數的表示式,可參閱圖示。圖示中間下方,是對應此方程式的單自由度系統」之自由振動位移響應x(t) 示意圖。

 

本單元要針對x(t) 進行FFT頻譜分析」,可以得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇)。以下為所設定的數值案例:

 

1.      模態參數:fn= 10 Hzξ=0.05

2.      輸入參數:f(t)=0X0= 1 mV0=0 m/s

 

所以,可得到:X=1φ=0°。位移響應x(t),如圖示右上,會有對數衰減的現象。對x(t) 進行FFT頻譜分析」,可以得到「傅立業頻譜𝑿(𝒇),因為是複數分別由以下圖示,說明其特徵:

 

1.      振幅(amplitude):在fn= 10 Hz頻率處,其「振幅值」大約是0.3左右,此峰值(peak)對應的頻率,就是系統的「自然頻率」。

2.      相位角(phase angle):在fn= 10 Hz自然頻率」處,其「相位角」為0°。同時,從低頻率穿越「自然頻率」到高頻率時,有180°的相位角變化。

3.      實數(real):在fn= 10 Hz頻率處,有一個峰值(peak),就是系統的「自然頻率」。

4.      虛數(imaginary):在fn= 10 Hz頻率處,呈現曲線交叉的現象,通過零點的位置,就是系統的「自然頻率」。

5.      奈氏圖(Nyquist plot):是以實數部為x軸,虛數部為y軸,所繪製。如圖示,如果頻率解析度夠小,可以看出形成一個圓的形式,一個自然頻率峰值(peak),就會形成一個圓。

 

綜合一下,本單元探討的重點:

 

1.      SDOF系統:就是外力激振的「單自由度系統」。可參閱#149:【甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」?】。

2.      SDOF系統之自由振動響應:可參閱#150結構為什麼會「振動」?】,#121不同阻尼比對質塊的振動有甚麼影響?】,#122甚麼是「對數衰減」?】。

3.      SDOF系統自由振動響應的頻譜特徵:分別由振幅(amplitude)相位角(phase angle)實數(real)虛數(imaginary)、以及奈氏圖(Nyquist plot),觀察其傅立業頻譜」的特徵。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2020.11.12

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