《振動噪音科普專欄》¼車輛行駛模型(Quarter Car Model) – (3)暫態響應分析(Transient Response Analysis)

 

這個單元要來探討的主題是:【¼車輛行駛模型 (Quarter Car Model) (3) 暫態響應分析(Transient Response Analysis)。這是這個系列的第三篇。

 

在先前單元:#318如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】,介紹了¼車體模型】的「數學建模(mathematical modeling),以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

首先回顧一下,先前單元:#314車輛動力學(Vehicle Dynamic):如何定義車體的自由度(DOF)】,參閱圖示左上方示意圖,是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號,就是:𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍,分別是3個方向位移/平移自由度(displacement DOF),以及3個方向旋轉自由度(rotational DOF)

 

𝒙 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 側向位移(lateral displacement)

𝒛 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 翻滾角度(roll angle)

𝜽 前傾角度(pitch angle)

𝝍 旋轉角度(yaw angle)

 

參閱圖片左下方,以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢,一部汽車會有4個輪子,此模型假設汽車的左右、前後對稱,所以只取了一個輪子,因此稱為【¼車體模型(quarter car model)

 

針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件

2. 定義系統之連接元件

3. 定義系統之自由度

4. 定義系統之邊界條件

5. 定義系統之輸入條件

6. 定義系統之初始條件

7. 定義有興趣之系統輸出參數

 

可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。

 

要分析這個【¼車體模型(quarter car model),會有4種分析:

 

(1)   系統之模態參數(modal parameters)自然頻率(natural frequency )𝒇𝒓模態振型(mode shape)𝝓𝒓模態阻尼比(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)

(2)   系統之頻率響應函數FRF (frequency response function):在此會有興趣的是,位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)

(3)   系統的位移/速度/加速度之時間域響應:探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)

(4)   系統的位移/速度/加速度之頻率域響應:探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)

 

本單元的重點,主要在討論「暫態響應分析」(Transient response analysis)

 

要對這個系統,進行後續的分析,就需要推導系統的運動方程式(equation of motion, EOM),參閱圖示中間上方,可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下:

 

[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

 

在此,要進行「暫態響應分析」,參閱圖示右上方,基本理念說明如下:

 

1.      路面位移輸入 𝒚(𝒕)是半正弦波的突起路面:當車速= 𝑉,半正弦波的位移振幅= 𝑌,半正弦波的全波長= 𝐿,則𝒚(𝒙)可以改寫為𝒚(𝒕)𝒚(𝒕)=𝑌 sin2 𝜋(𝑉/𝐿)𝑡,0<𝑡<𝐿/2𝑉𝒚(𝒕)=0,𝑡𝐿/2𝑉。其中,𝒇= 𝑉/𝐿=半正弦波的頻率。因此,完成了路面位移輸入 𝒚(𝒕)之定義。

2.      要模擬分析求得系統自由度的位移時間域響應:𝒙𝒓(𝒕)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。也就是分析汽車通過半正弦波的突起路面,要瞭解車體不同部位的振動情形,特別是隨時間變化的狀態。

 

暫態響應分析」,主要在求得系統的位移/速度/加速度之時間域響應,參閱圖示右下方,是採用有限元素分析(finite element analysis, FEA)的分析結果,所呈現的動畫,重點說明如下:

 

1.      模擬車輛行駛於半正弦波的突起路面,輪胎與地面接觸,受到路面位移輸入 𝒚(𝒕)的激振

2.      質塊𝒎𝟏是輪軸的位移𝒙𝟏 (𝒕),在通過突起路面時,有較大的位移響應,隨後有逐漸衰減的振盪現象,主要來自阻尼效應。

3.      質塊𝒎2𝒎3底盤和座位的位移𝒙2 (𝒕)𝒙3 (𝒕),振動的量值就比較小,也都分別有來回振盪的現象。

4.      𝒙𝟏 (𝒕)𝒙2 (𝒕)𝒙3 (𝒕)的位移時間波形,可以觀察有合理的波動現象,完成了暫態響應分析」

 

綜合一下這個單元的討論,是針對【¼車體行駛動態分析模型】,也就是【¼車體模型(quarter car model)。著重於「暫態響應分析(transient response analysis)的理念說明,可以求得系統的位移/速度/加速度之時間域響應。分析步驟,包括:

 

1.      推導系統的運動方程式(equation of motion, EOM):得到「基座激振多自由度系統」的通式,[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

2.      進行「暫態響應分析(transient response analysis):需要明確的定義路面位移輸入 𝒚(𝒕),在此分析的是,模擬車輛行駛於半正弦波的突起路面,可以得到車體系統的輪軸 𝒙𝟏 (𝒕)、底盤 𝒙2 (𝒕)和座位 𝒙3 (𝒕)的位移時間波形。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.05.16










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