《振動噪音科普專欄》「靜力分析」和「振動分析」有什麼不同?


這個單元要來探討的主題是:「靜力分析(Static Analysis)和「振動分析(Vibration Analysis)有什麼不同?這是常常會提出的疑問,如果結構是會振動,那就要做「振動分析」,那麼做了「振動分析」,為什麼還要做「靜力分析」?又,「靜力分析」和「振動分析」到底有甚麼差別?

 

首先,參閱圖示左上方,就從SDOF單自由度系統」看起,觀察系統示意圖,其中:

 

1.          系統參數(system parameters),就是:𝒎𝒄𝒌,分別是質塊的「質量(mass)、彈簧的「黏滯阻尼係數(viscous damping coefficient)、彈簧的「彈簧常數(spring constant)

2.          輸入」是𝒇(𝒕),為系統的外力,以及質塊本身的兩個「初始條件(initial condition, IC),包括:「初始位移(initial displacement) 𝒙𝟎及「初始速度(initial velocity) 𝒗𝟎

3.          輸出」是𝒙(𝒕),為系統質塊的位移響應。

 

由系統的數學模型」,可以推導出這個單自由度系統」的「運動方程式𝒎 a + 𝒄 𝒗+ 𝒌 𝒙= 𝒇(𝒕)。是「二階的常微分方程式」,所以需要兩個「初始條件」:「初始位移𝒙𝟎及「初始速度𝒗𝟎。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以x𝒗a,代表位移速度加速度。】

 

參閱圖示右上方,再解剖運動方程式的每一項,可以區別出:

 

1.      彈簧力(spring force) = 𝒌 𝒙。和「位移」成正比。

2.      阻尼力(damping force) = 𝒄 𝒗。和「速度」成正比。

3.      慣性力(inertial force) = 𝒎 a。和「加速度」成正比。

4.      外力(external force) = 𝒇(𝒕) = 慣性力+阻尼力+彈簧力」。

 

其次,舉先前的單元:#207SDOF簡諧激振系列(1):甚麼是簡諧激振(harmonic excitation)】,SDOF單自由度系統受簡諧激振之響應,參閱圖示左下方,簡要回顧如下:

 

1.      簡諧外力」激振:外力為正弦函數 𝒇(𝒕)=𝑭𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕),其中,𝝎= 𝟐𝝅𝒇𝑭 =簡諧外力振幅」;𝒇=簡諧外力」的「激振頻率」。由圖示中央的𝒇(𝒕)示意圖,可以從時間波形,分別界定出「簡諧外力振幅 𝑭,以及「激振頻率𝒇週期T的倒數。

2.      分析質塊位移響應」:𝒙(𝒕)=𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)+𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕),可以解剖出兩個效應:𝒙_𝐈𝐂 (𝒕)是自由振動響應,𝒙_𝐈𝐑𝐅 (𝒕)是外力激振響應。也可以區別出來質塊響應𝒙(𝒕),會有暫態響應(transient state response),以及「穩態響應(steady state response)的區間。

 

由圖示的動畫顯示,可以知道「振動分析」確實就是在解析結構受到外力時,結構的位移 𝒙(𝒕)速度 𝒗(𝒕)加速度 a(𝒕)隨時間變化的狀態。

 

接著,來看「靜力分析」,主要的假設如下:

 

1.      外力: 𝒇(𝒕)= 常數,也就是不隨時間變化。

2.      速度:𝒗(𝒕)=𝟎

3.      加速度:a(𝒕)=𝟎

 

當假設了𝒗(𝒕)=𝟎a(𝒕)=𝟎,就是假設結構是沒有運動/振動的。所以「振動分析」的運動方程式:𝒎 a + 𝒄 𝒗+ 𝒌 𝒙= 𝒇(𝒕),在靜力分析」,就簡化為:𝒌 𝒙= 𝒇(𝒕)。也就是:「彈簧力=外力」,其中,𝒌 是彈簧的「彈簧常數」,通則來說,可以視為結構的剛性值。

 

參閱圖示右下方,是一個樑結構放在兩側的基座上,在樑結構的上表面,受到均佈壓力的作用,若是進行靜力分析」,就是假設此均佈壓力常數,也就是不隨時間變化。完成「靜力分析」就可以得結構的變形與應力狀態,分別是位移」變形以及結構的「應力」,如圖示樑結構下方是正值的拉伸應力,而上方是負值的壓縮應力。至於,進行靜力分析」會得到甚麼結果,我們再另闢單元討論。

 

這個單元主要在區別「靜力分析(Static Analysis)和「振動分析(Vibration Analysis)有什麼不同?透過SDOF單自由度系統」來解釋說明,由運動方程式比較如下:

 

1.      振動分析」:𝒎 a + 𝒄 𝒗+ 𝒌 𝒙= 𝒇(𝒕)。「慣性力+阻尼力+彈簧力=外力」。

2.      靜力分析」:𝒌 𝒙= 𝒇(𝒕)。「彈簧力=外力」。

 

所以,「靜力分析」只得到了結構的位移 𝒙(𝒕),忽略了速度 𝒗(𝒕)加速度 a(𝒕)。而且,外力: 𝒇(𝒕)= 常數,也就是不隨時間變化,所以位移 𝒙(𝒕) 也是不隨時間變化。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.10.15 









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