《振動噪音科普專欄》甚麼是庫倫阻尼(Coulomb Damping)?

這個單元要來探討的主題是:甚麼是庫倫阻尼(Coulomb Damping)?這是庫倫阻尼」系列的第1篇。

 

首先,從破題的角度來看,可以拆解成3個名詞:

 

1.      阻尼(Damping)

2.      庫倫摩擦(Coulomb Friction)

3.      庫倫阻尼(Coulomb Damping)

 

甚麼是阻尼(damping)?可參考先前單元:#116什麼是「阻尼」(damping)】,簡單的說:「阻尼(damping)是一種消耗能量的機制。一般材料本身都有「阻尼效應」。從「微觀」角度來說,可以想像一個材料構件,因為結構體的變形,使得材料分子之間有摩擦,而產生摩擦的能量損失,即為「阻尼效應」。

 

參閱圖示右上方的引述,mck質塊-阻尼-彈簧單自由度系統」來看,特別是以「黏滯阻尼係數𝒄,可以解讀(A)(B)(C)三種振盪狀態的差異:

 

1.          (A)狀態,彈簧無阻尼效應,𝒄=0:實務上,彈簧材料都會有「阻尼效應」,𝒄 =0,是數學分析上的假設,可以理解無阻尼時,質塊的振盪現象,是永無止境的來回振盪。

2.          (B)狀態,彈簧有阻尼,𝒄較小:實務上,由於彈簧材料有「阻尼效應」,當𝒄 值小時,阻尼效應小,所以,質塊來回振盪的振幅衰減效應,比較慢。

3.          (C)狀態,彈簧有阻尼,𝒄較大:當彈簧材料的「阻尼效應」大,也就是𝒄 值較大時,阻尼效應較大,所以,質塊來回振盪的振幅衰減效應,就相對比較快。

 

由圖示「無阻尼」、「阻尼小」、及「阻尼大」的質塊位移𝒙(𝒕)時間域波形,可以看出質塊來回振盪之位移振幅的不同衰減效應。

 

其次,甚麼是庫倫摩擦(Coulomb Friction)參閱圖示右邊中間的庫倫摩擦」示意圖,在靜力學課程有摩擦的單元,如圖示有一個質塊𝒎,和地面有滑動的接觸,質塊和地面之間,會有「摩擦係數(Friction coefficient) 𝝁

 

當以外力𝑭 拖拉這個質塊,令外力𝑭逐漸增大,當𝑭> 𝑭𝒔=𝝁𝒔*𝑵,質塊會開始移動,其中,𝑭𝒔 摩擦力(frictional force)𝝁𝒔靜摩擦係數(kinetic friction coefficient)𝑵=𝒎𝒈是作用於地面的法向力,𝒈是重力加速度,𝒈=9.81 m/s^2。當質塊開始移動後,外力𝑭會略為下降,以穩定的𝑭𝒔=𝝁𝒌*𝑵即可拖動質塊的運動,其中,𝝁𝒌動摩擦係數(kinetic friction coefficient)

 

在此,由於討論的是質塊的動態振動行為,所以,在庫倫阻尼系列單元所討論的摩擦係數」,會是「動摩擦係數」,也就是𝝁= 𝝁𝒌

接下來,甚麼是庫倫阻尼(Coulomb Damping)?簡單說:由摩擦所產生的阻尼效應,也就是會有阻尼(damping)的消耗能量機制。在此,就以外力激振的單自由度系統,分別介紹以下三種阻尼」狀態,讀者可參考先前單元:#149甚麼是「外力激振」的「單自由度系統」?

 

1.      無阻尼(undamped):如左下方第一個圖示,系統只有質塊𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌。而且此質塊與地面是無磨擦的自由滑動狀態。

2.      黏滯阻尼(viscous Damping):如左下方第二個圖示,和系統無阻尼」相比較,除了質塊𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌外,還有黏滯阻尼係數𝒄。就如先前單元:#116的說明。

3.      庫倫阻尼(Coulomb Damping):如左下方第三個圖示,不同於無阻尼」圖示的質塊與地面是無摩擦的自由滑動狀態,此系統具有「庫倫摩擦」的效應,質塊和地面之間,會有「摩擦係數𝝁

 

以上三種系統,可以寫出運動方程式的通式:𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+ 𝑭𝒔 (𝒕),讀者可參閱圖示,有明確的表示式。由於運動方程式是二階的常微分方程式,所以,需要兩個「初始條件(initial condition, IC),分別是初始位移X0及「初始速度V0。【備註:比較明確的數學方程式,請讀者參考圖示,在文字說明,受限於方程式編寫,分別以𝒙𝒗𝒂,代表位移速度加速度。】

 

運動方程式和先前單元:#149比較,多出了摩擦力(frictional force) 𝑭𝒔 (𝒕),當速度為正值 𝒗 >𝟎𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈,當速度為負值 𝒗 <𝟎𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈,而速度為零 𝒗 =𝟎𝑭𝒔 (𝒕)= 0

 

綜合一下這個單元的討論:

 

1.      阻尼(Damping):是一種消耗能量的機制。

2.      庫倫摩擦(Coulomb Friction):說明了「靜摩擦係數𝝁𝒔和「動摩擦係數𝝁𝒌的概念。在討論「庫倫阻尼」的振動效應,「摩擦係數」,會是「動摩擦係數」,也就是𝝁= 𝝁𝒌

3.      庫倫阻尼(Coulomb Damping)由摩擦所產生的阻尼效應,也就是會有阻尼(damping)的消耗能量機制。

4.      外力激振單自由度系統的三種阻尼狀態,包括:無阻尼(undamped)黏滯阻尼(viscous Damping)庫倫阻尼(Coulomb Damping)

5.      具「庫倫阻尼」的外力激振單自由度系統:此系統除了質塊𝒎和彈簧的彈簧常數𝒌外,具有「庫倫摩擦」的效應,質塊和地面之間,會有「摩擦係數𝝁

6.      摩擦力(frictional force) 𝑭𝒔 (𝒕)的特徵:當速度為正值 𝒗 >𝟎𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈,當速度為負值 𝒗 <𝟎𝑭𝒔 (𝒕)= 𝝁𝒎𝒈,而速度為零 𝒗 =𝟎𝑭𝒔 (𝒕)= 0

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.08.26


 

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