《振動噪音科普專欄》「等效系統分析」:如何求得「懸臂柱」的「等效彈簧常數」?



 這個單元要來探討的主題是:「等效系統分析(Equivalent System Analysis),探討如何求得「懸臂柱(cantilever column)的「等效彈簧常數(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒

 

參閱圖示左上方,是一個原始系統:「懸臂柱」自由端具有質塊的系統。此質塊為集中質量𝒎,會使得直立的柱結構上下擺動,其DOF自由度𝒙(𝒕)

 

如果,要分析此系統的振動情形,牽涉到複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析,在此介紹「等效系統分析」的理念,如圖示中間上方,將以SDOF單自由度的「等效系統(Equivalent System)來分析,其System 系統參數是:𝒎𝒆𝒒 等效質量(Equivalent mass) 𝒌𝒆𝒒等效彈簧常數(Equivalent spring constant)

 

要往下討論之前,先回顧先前單元主題:甚麼是「等效系統(Equivalent System)?以及為什麼要進行「等效系統分析(Equivalent System Analysis)?主要意義與目的,參閱圖片的下方系列圖示,說明如下:

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統(Equivalent System):可取得System 系統參數:就是𝒎𝒆𝒒𝒄𝒆𝒒𝒌𝒆𝒒,分別是「等效質量」、「等效黏滯阻尼係數」、「等效彈簧常數」。

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM):除了System 系統參數以及Output 輸出參數,位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕),還包括:Input 輸入參數:外力 𝒇(𝒕),和兩個初始條件(IC)𝒙𝟎𝒗𝟎

3.      進而可以進行「模態分析(modal analysis):可以得到「模態參數(modal parameter):「自然頻率(natural frequency) 𝒇𝒏 以及「阻尼比(damping ratio) 𝝃

4.      評估「共振(resonance):即可據以評估結構系統是否有「共振」,也就是在比較探討外力 𝒇𝒆激振頻率(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏自然頻率」。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

瞭解了進行「等效系統分析」的意義與目的,再回到原始系統:「懸臂柱」自由端具有質塊的系統,主要是不必進行複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析,就可以快速分析判斷結構是否會有「共振」?

 

原始系統:「懸臂柱」自由端具有質塊的系統。其系統參數包括:𝑳:柱的長度 (m)𝑨 :柱的截面積 (𝐦^𝟐)𝑬:柱的楊氏係數 (GPa)。參閱圖示左下方,如果是矩形截面積:𝑨 =𝒃𝒉。如果是圓形截面積:𝑨 =(𝝅𝒅^𝟐)/𝟒

 

其次,要進行「等效系統分析」,對原始系統做了假設(assumptions),說明如下:

 

1.      質塊的質量𝒎,遠大於柱質量,所以,柱質量,可忽略,其密度 𝝆= 0

2.      柱會變形,是撓性體(flexible body),也就是彈性體(elastic body),需要定義柱的𝑬:楊氏係數。

 

接下來,參閱圖示左邊中間的懸臂柱自由端受外力變形示意圖,這是材料力學教科書可以找到的變形量分析,推導取得 𝒌𝒆𝒒等效彈簧常數」步驟如下:

 

1.      分析懸臂柱自由端的變形量:𝜹=(𝑭𝑳)/ (𝑨𝑬)

2.      由彈簧常數的定義:𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹,也就是外力𝑭除以變形量𝜹

3.      由步驟1.的變形量,做移項處理,可得:𝒌𝒆𝒒=𝑭/𝜹 =𝑨𝑬/𝑳

 

其次,即可帶入 𝒇𝒏 方程式,如果,已知:𝒎𝒆𝒒𝒌𝒆𝒒,即可求得系統的 𝒇𝒏自然頻率」。在此系統,𝒎𝒆𝒒 = 𝒎,所以,可明確求得系統的 𝒇𝒏

 

最後,由於取得了系統的 𝒇𝒏自然頻率」,可以和 𝒇𝒆激振頻率」比較探討。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

綜合這個單元的討論,進行的是「等效系統分析(Equivalent System Analysis),探討如何求得「懸臂柱(cantilever column)的「等效彈簧常數(Equivalent spring constant) 𝒌𝒆𝒒。統整的分析流程步驟理念如下:

 

1.      探討原始系統:「懸臂柱」自由端具有質塊的系統。

2.      進行「等效系統分析」:定義「等效系統」的單自由度等效彈簧質塊系統」,其System 系統參數是:𝒎𝒆𝒒 等效質量 𝒌𝒆𝒒等效彈簧常數」。

3.      分析得到「等效彈簧常數𝒌𝒆𝒒 以及 𝒎𝒆𝒒 等效質量」。

4.      進而,可以推算系統的 𝒇𝒏自然頻率」。

5.      評估「共振(resonance):系統的 𝒇𝒏自然頻率」再和 𝒇𝒆激振頻率」比較,可以評估「共振(resonance)。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.07.01

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