《振動噪音科普專欄》¼車輛行駛模型(Quarter Car Model) – (4)頻譜響應分析(Spectrum Response Analysis)

 

這個單元要來探討的主題是:【¼車輛行駛模型 (Quarter Car Model) (4) 頻譜響應分析(Spectrum Response Analysis)。這是這個系列的第四篇。

 

在先前單元:#318如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 車輛行駛模型(Vehicle Riding Model)】,介紹了¼車體模型】的「數學建模(mathematical modeling),以取得對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

首先回顧一下,先前單元:#314車輛動力學(Vehicle Dynamic):如何定義車體的自由度(DOF)】,參閱圖示左上方示意圖,是「車輛動力學」對汽車慣用的DOF定義與變數符號,就是:𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝝓, 𝜽, 𝝍,分別是3個方向位移/平移自由度(displacement DOF),以及3個方向旋轉自由度(rotational DOF)

 

𝒙 縱向位移(longitudinal displacement)

𝒚 側向位移(lateral displacement)

𝒛 垂直位移(vertical displacement)

𝝓 翻滾角度(roll angle)

𝜽 前傾角度(pitch angle)

𝝍 旋轉角度(yaw angle)

 

參閱圖片左下方,以一個很簡化的【¼車體行駛動態分析模型】為例做說明。初步的假設呢,一部汽車會有4個輪子,此模型假設汽車的左右、前後對稱,所以只取了一個輪子,因此稱為【¼車體模型(quarter car model)

 

針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件

2. 定義系統之連接元件

3. 定義系統之自由度

4. 定義系統之邊界條件

5. 定義系統之輸入條件

6. 定義系統之初始條件

7. 定義有興趣之系統輸出參數

 

可以得到圖片中間下方的【¼車體行駛動態分析模型】。

 

要分析這個【¼車體模型(quarter car model),會有4種分析:

 

(1)   系統之模態參數(modal parameters)自然頻率(natural frequency )𝒇𝒓模態振型(mode shape)𝝓𝒓模態阻尼比(modal damping ratio)𝝃𝒓。必須進行「模態分析」(modal analysis)

(2)   系統之頻率響應函數FRF (frequency response function):在此會有興趣的是,位移傳輸比(displacement transmissibility)=𝑻𝒓=𝑿𝒓(𝒇)/𝒀(𝒇)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。必須進行「簡諧響應分析」(harmonic response analysis)

(3)   系統的位移/速度/加速度之時間域響應:探討行駛於不同路面狀態的響應 𝒙(𝒕) , 𝒗(𝒕), 𝒂(𝒕)。必須進行「暫態響應分析」(transient response analysis)

(4)   系統的位移/速度/加速度之頻率域響應:探討行駛於隨機路面狀態的響應 𝑿(𝒇) , 𝑽(𝒇), 𝑨(𝒇)。必須進行「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)

 

本單元的重點,主要在討論「頻譜響應分析」(spectrum response analysis)

 

要對這個系統,進行後續的分析,就需要推導系統的運動方程式(equation of motion, EOM),參閱圖示中間上方,可以得到「基座激振多自由度系統」的通式如下:

 

[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

 

在此,要進行「頻譜響應分析」,參閱圖示右上方,基本理念說明如下:

 

1.      路面位移輸入 𝒚(𝒕)是隨機路面(random road profile):當車速= 𝑉,行經如圖示的隨機路面,不容易進行「暫態響應分析」,所以,需要採用「頻譜響應分析」。

2.      首先,必須將隨機波𝒚(𝒕),轉換為「功率頻譜密度函數(power spectral density (PSD) function) 𝑮𝒚𝒚 (𝒇)

3.      參考ISO對不同等級路面的定義,可以得到隨機路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇),也就是隨機路面的PSD分布曲線。

4.      參考圖示,可觀察:在相同等級路面,當車速 𝑉越高時,則路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)分布曲線就越大,表示有更大的路面波動。在相同車速 𝑉時,等級越差的路面,則路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)分布曲線就越大,也是代表有更大的路面波動。因此,就完成了隨機路面位移輸入 𝒚(𝒕)之定義,是以路面𝑮𝒚𝒚 (𝒇) PSD分布曲線表示。

5.      由於路面是隨機波,預期系統自由度的位移時間域響應:𝒙𝒓(𝒕)𝒓=𝟏,𝟐,𝟑。也會是隨機信號。因此,需要透過「頻譜響應分析」以求得系統自由度的PSD功率頻譜密度函數[𝑮𝒙𝒙 (𝒇)]矩陣。

6.      透過「頻譜響應分析」,可得到:[𝑮𝒙𝒙 (𝒇)]=[𝑯(𝒇)]^(^𝑻 ) [𝑮𝒚𝒚 (𝒇)][𝑯(𝒇)]。其中,[𝑯(𝒇)]就是頻率響應函數FRF (frequency response function),所以,要進行「頻譜響應分析」之前,必須先完成「簡諧響應分析(harmonic response analysis),以求得[𝑯(𝒇)] FRF矩陣。

 

頻譜響應分析」,主要在求得系統的位移/速度/加速度之頻率域響應,主要在求得系統自由度的PSD分布曲線,[𝑮𝒙𝒙 (𝒇)] PSD矩陣,可以得到每個自由的PSD功率頻譜密度函數」曲線,包括:如右下方圖示的位移和加速度的PSD分布曲線,重點說明如下:

 

1.      模擬車輛行駛於隨機波的路面,可求得自由度𝒙𝟏𝒙2𝒙3的位移PSD分布曲線。在低頻率區間,𝒙2𝒙3高於𝒙𝟏,而在高頻率區間,𝒙𝟏高於𝒙2𝒙3

2.      取得了每個自由度的位移PSD分布曲線,概念上,曲線所圍的面積就是總振動能量,透過積分運算、再開根號,就可以求得每個自由度的位移RMS (root mean square)值,包括:𝒙𝟏,𝒓𝒎𝒔𝒙2,𝒓𝒎𝒔𝒙3,𝒓𝒎𝒔,也就是平方平均根值。透過這樣的分析,雖然沒有取得隨機響應波形,但是知道了位移的RMS值,也相當於瞭解了車體各部位的振動的狀態。

3.      同時,也可以求得自由度𝒙𝟏𝒙2𝒙3的加速度PSD分布曲線,有類似於位移的特徵。同樣的,也可以透過積分、開根號,可以求得加速度RMS值。

4.      知道每個自由度的振動量大小,對車體結構部位可以進行安全性評估。對於座位的響應,可以進行乘客的舒適度(ride comfort)分析,這就需要引用ISO 2631人體振動暴露量之評估方式,再另闢單元討論。

 

綜合一下這個單元的討論,這個系列是針對【¼車體行駛動態分析模型】,也就是【¼車體模型(quarter car model)。分別介紹了4種分析:(1)模態響應分析(modal analysis)(2)簡諧響應分析(harmonic response analysis)(3)暫態響應分析(transient response analysis)(4)頻譜響應分析(spectrum response analysis)

 

這個單元著重於「暫態響應分析(transient response analysis)的理念說明,可以求得系統的位移/速度/加速度之頻率域響應。分析步驟,包括:

 

1.      推導系統的運動方程式(equation of motion, EOM):得到「基座激振多自由度系統」的通式,[𝑀]{𝑥 ̈}+[𝐶]{𝑥 ̇}+[𝐾]{𝑥}=[𝐶’]{𝑦 ̇}+[𝐾’]{𝑦}

2.      進行「頻譜響應分析(spectrum response analysis):需要明確的定義路面位移輸入 𝒚(𝒕),在此分析的是,模擬車輛行駛於隨機路面狀態的響應,參考ISO對不同等級路面狀態,可以定義出隨機路面的𝑮𝒚𝒚 (𝒇)功率頻譜密度函數(power spectral density (PSD) function)。透過「頻譜響應分析」,可以得到車體系統的輪軸 𝒙𝟏 、底盤 𝒙2和座位 𝒙3的位移和加速度的PSD分布曲線,進而求得系統自由度的RMS值,就可以應用於後續的車輛安全性或舒適度評估。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.05.16




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