《振動噪音科普專欄》如何建構「離散系統」的「數學模型」?以「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」為例

 

這個單元要來探討的主題是:如何建構「離散系統(discrete system)的「數學模型(mathematical model)?以「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」為例,來說明如何建構其「數學模型」。

 

參閱圖示左上方,是「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」示意圖,也就是「實際結構」。此結構的主要元件,包括:「凸輪(cam)、「推桿(push rod)、「搖臂(rocket arm)、「汽門閥(valve)、以及「汽門閥彈簧(valve spring)

 

此「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」的動作原理,由左下角的「凸輪」看起:

 

1.      凸輪」旋轉會頂起「推桿」。

2.      推桿」和「搖臂」連接,帶動了「搖臂」旋轉。

3.      搖臂」的另一端連接「汽門閥」,「搖臂」旋轉會頂開「汽門閥」。

4.      在汽缸與「搖臂」之間有「汽門閥彈簧」,當「凸輪」旋轉到沒有頂到「推桿」。

5.      汽門閥彈簧」會伸展,使得「汽門閥」與汽缸進氣口或排氣口密合,呈現關閉狀態。

 

一般四行程引擎,會有一個進氣口與一個排氣口,此結構示意圖,僅考慮一個進氣閥、或排氣閥。

 

如果,想要知道這個結構系統是否會有「共振(resonance),就需要知道外力 𝒇𝒆激振頻率(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏自然頻率(natural frequency)。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

針對「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」系統,要分析此系統是否會有「共振」,就需要求得系統的「自然頻率」。因此,要對此「實際結構(real structure)進行「數學建模(mathematical modeling),以能夠得到對應於「實際結構」的等效「數學模型(mathematical model)

 

回顧先前單元:#315,【如何建構「離散系統」的「數學模型」?- 搖頭娃娃】,介紹了針對「離散系統(discrete system)的「數學建模」,有7個步驟,摘錄如圖示左下方,包括:

 

1. 定義系統之質塊元件Mass element

2. 定義系統之連接元件K & C elements

3. 定義系統之自由度DOF

4. 定義系統之邊界條件Boundary

5. 定義系統之輸入條件Input / Loading

6. 定義系統之初始條件Initial Condition (I.C.)

7. 定義有興趣之系統輸出參數Output Variables

 

以下就針對此「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」,依照7個步驟,參閱圖示右上方的「數學模型」示意圖,或是觀看影片,可以逐項的來進行「數學建模」,以取得系統的「數學模型」,說明如下:

 

1.      Mass element:首先定義「搖臂」是一根剛性長條形質塊,需要定義參數:𝒎𝒓搖臂」的質量,以及 𝑰𝒓搖臂」的質量慣性矩或稱轉動慣量,要注意所選取的參考點。「推桿」假設為一個集中質量塊,附著在「搖臂」上,其質量為 𝒎𝒑。「搖臂」的右端也附著了「汽門閥」,同樣假設為一個集中質量塊,其質量為 𝒎𝒗

2.      K & C elements:此系統有兩個彈簧效應,首先看的是「推桿」的彈簧效應,可視為是懸臂柱的「等效彈簧常數」,以𝒌𝒑代表。另外,就是汽門閥彈簧」,以𝒌𝒗代表

3.      DOF:「自由度Degree-of-Freedom (DOF),每一個Mass element,都要定義其「自由度」。所以,如圖示:𝜽(𝒕)𝒙𝒑 (𝒕)𝒙𝒓 (𝒕)𝒙𝒗 (𝒕),分別定義了「搖臂」的旋轉角度、「推桿」的位移、「搖臂」的位移、和「汽門閥」的位移。看起來有4DOF自由度,但是,其間有明確的幾何關係,所以這是一個單自由度SDOF系統。

4.      Boundary:「邊界」,如圖示有兩個邊界位置,一個是在「搖臂」旋轉軸的固定位置,同時假設旋轉軸為銷接(pin joint),可自由旋轉、且無摩擦(frictionless)。另一個是在「汽門閥彈簧」的汽缸位置。

5.      Input / Loading:系統的「輸入」或「負荷」,如圖示,就是在「凸輪」位置,假設「凸輪」的輪廓是個間歇式的半弦波(half sine),如圖示的𝒚(𝒕),是位移的輸入(displacement input),也就是「基座激振(base excitation)。觀察𝒚(𝒕)的時間波形,可以界定出循環「週期𝑻 = 𝟏/𝒇𝒆,其中,𝒇𝒆就是「激振頻率」,也就是「凸輪」軸的「轉速頻率」。

6.      Initial Condition (I.C.):「初始條件」,理念上,每一個系統「自由度(DOF),都可以定義I.C.,在此需要定義𝜽(𝒕)𝒙𝒑 (𝒕)𝒙𝒓 (𝒕)𝒙𝒗 (𝒕)初始位移及初始速度。

7.      Output Variables:甚麼是有興趣之系統輸出參數?以振動分析來說,通常會需要瞭解是否有「共振(resonance)?所以,必須求得系統的「自然頻率(natural frequency)

 

要求得系統的「自然頻率」,可以運用先前多個單元討論過的「等效系統分析(Equivalent System Analysis),取得如圖示右下方,以𝒙𝒑 (𝒕)為基準的等效系統,說明如下:

 

1.      此等效系統為單自由度SDOF系統,而且是「基座激振」的系統。

2.      系統的「自由度」是𝒙𝒑 (𝒕)

3.      系統參數,包括:𝒎𝒑,𝒆𝒒以及𝒌𝒑,𝒆𝒒

4.      基座激振」的輸入,來自「凸輪」的輪廓是個間歇式的半弦波,如圖示的𝒚(𝒕),是位移的輸入(displacement input)

 

完成了「等效系統分析」,就可以求得系統的「模態參數(modal parameter),參閱圖示右下方的方程式,特別是 𝒇𝒏自然頻率(natural frequency)

 

要評估是不是會有「共振」?就要確認𝒇𝒆激振頻率」遠離系統的𝒇𝒏自然頻率」,以避開

> 20%」為原則,如果結構設計使得𝒇𝒏夠大,使得𝒇𝒆 << 𝒇𝒏,就可以避免共振。

 

綜合一下這個單元的討論,總結如下:

 

1.      探討「實際結構(real structure):「引擎汽門閥凸輪搖臂結構」系統。

2.      進行「數學建模(mathematical modeling):有7個步驟。

3.      建構「離散系統(discrete system)的「數學模型(mathematical model):簡化為一個單自由度SDOF基座激振(base excitation)系統。

4.      進行「等效系統分析(Equivalent System Analysis):取得以𝒙𝒑 (𝒕)為基準的等效系統。

5.      求得系統的「模態參數(modal parameter):特別是 𝒇𝒏自然頻率(natural frequency)

6.      評估避免「共振(resonance):以「> 20%」為原則,確認𝒇𝒆激振頻率」遠離系統的𝒇𝒏自然頻率」,使得𝒇𝒆 << 𝒇𝒏,就可以避免共振。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.09.12






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