《振動噪音科普專欄》等效系統分析:SDOF「平移」和「旋轉」振動系統有甚麼差異?


這個單元要來探討的主題是:「等效系統分析(Equivalent System Analysis),針對SDOF單自由度的「平移(translational)和「旋轉(rotational)振動系統,探討兩者之間有甚麼差異?

 

關於SDOF平移(translational)振動系統,參閱圖片上方的系列圖示,說明如下:

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統(Equivalent System):可取得System 系統參數:就是𝒎𝒆𝒒𝒄𝒆𝒒𝒌𝒆𝒒,分別是「等效質量(kg)、「等效黏滯阻尼係數(N / m/s)、「等效彈簧常數(N / m)

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM):除了System 系統參數以及Output 輸出參數,位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈(𝒕),還包括:Input 輸入參數:外力 𝒇(𝒕) (N),和兩個初始條件(IC),初始位移:𝒙𝟎 (m),和初始速度:𝒗𝟎 (m/s)

3.      進而可以進行「模態分析(modal analysis):可以得到「模態參數(modal parameter):「自然頻率(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比(damping ratio) 𝝃

4.      評估「共振(resonance):即可據以評估結構系統是否有「共振」,也就是在比較探討外力 𝒇𝒆激振頻率(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏自然頻率」。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

另外,觀察圖示的「ISO系統流程圖(system block diagram),說明如下:

 

1.      Input 輸入參數:就是外力 𝒇(𝒕),和兩個初始條件(IC)𝒙𝟎𝒗𝟎

2.      System 系統參數:就是𝒎𝒆𝒒𝒄𝒆𝒒𝒌𝒆𝒒

3.      Output 輸出參數:如系統位移𝒙(𝒕)/速度𝒙 ̇(𝒕)/加速度𝒙 ̈ (𝒕)之時間域響應。

 

由於以上的各種參數,都是物理量(physical quantity):可以實際度量、具有物理單位(physical unit),所以此「ISO系統流程圖」稱為:「物理域系統方塊圖(physical domain block diagram)

 

參閱「模態域系統方塊圖(modal domain block diagram),其中,System 系統參數包括:𝒇𝒏自然頻率 以及𝝃阻尼比」。與外力的 𝒇𝒆激振頻率」比較,就可以判斷是否有「共振」。建議:採用20%原則,也就是:𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏,或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏,以避免「共振」。

 

本單元主要在瞭解SDOF單自由度的「平移(translational)和「旋轉(rotational)振動系統,探討兩者之間有甚麼差異?

 

接著,參閱圖片下方的系列圖示,關於SDOF旋轉(rotational)振動系統,說明如下:

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統(Equivalent System):可取得System 系統參數:就是𝑱𝟎,𝒆𝒒𝒄𝜽,𝒆𝒒𝒌𝜽,𝒆𝒒,分別是「等效質量慣性矩(kg-𝐦^𝟐)、「等效旋轉阻尼係數(N-m / rad/s)、「等效旋轉彈簧常數(N-m/rad)

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM):除了System 系統參數以及Output 輸出參數,角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽  ̇(𝒕)/角加速度𝜽  ̈(𝒕),還包括:Input 輸入參數:外力矩 𝑻(𝒕) (N-m),和兩個初始條件(IC),初始角度:𝜽𝟎 (rad),和初始角速度:𝝎𝟎 (rad/s)

3.      進而可以進行「模態分析(modal analysis):可以得到「模態參數(modal parameter):「自然頻率(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比(damping ratio) 𝝃

4.      評估「共振(resonance):即可據以評估結構系統是否有「共振」,也就是在比較探討外力 𝒇𝒆激振頻率(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏自然頻率」。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

另外,觀察圖示的「ISO系統流程圖(system block diagram),說明如下:

 

1.      Input 輸入參數:就是外力矩 𝑻(𝒕),和兩個初始條件(IC)𝜽𝟎 𝝎𝟎

2.      System 系統參數:就是𝑱𝟎,𝒆𝒒𝒄𝜽,𝒆𝒒𝒌𝜽,𝒆𝒒

3.      Output 輸出參數:如系統的角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽  ̇(𝒕)/角加速度𝜽  ̈(𝒕)之時間域響應。

 

由於以上的各種參數,都是物理量(physical quantity):可以實際度量、具有物理單位(physical unit),所以此「ISO系統流程圖」稱為:「物理域系統方塊圖(physical domain block diagram)

 

參閱「模態域系統方塊圖(modal domain block diagram),其中,System 系統參數包括:𝒇𝒏自然頻率 以及𝝃阻尼比」。與外力的 𝒇𝒆激振頻率」比較,就可以判斷是否有「共振」。

 

綜合一下這個單元的討論,分別觀察了SDOF單自由度的「平移(translational)和「旋轉(rotational)振動系統,兩者之間的差異,彙整如下:

 

Ø   振動方向:「平移(translational)振動 旋轉(rotational)振動。

Ø   自由度的定義位移 𝒙(𝒕) (m) 角度 𝜽(𝒕) (rad)

Ø   自由度的定義速度 𝒙 ̇(𝒕) (m/s) 角速度 𝜽  ̇(𝒕) (rad/s)

Ø   自由度的定義加速度 𝒙 ̈ (𝒕) (m/s^𝟐) 角加速度 𝜽  ̈(𝒕) (rad/s^𝟐)

Ø   系統參數:「等效質量𝒎𝒆𝒒 (kg) 等效質量慣性矩𝑱𝟎,𝒆𝒒 (kg-𝐦^𝟐)

Ø   系統參數:「等效阻尼係數𝒄𝒆𝒒 (N / m/s) 等效旋轉阻尼係數𝒄𝜽,𝒆𝒒 (N-m / rad/s)

Ø   系統參數:「等效彈簧常數𝒌𝒆𝒒 (N / m) 等效旋轉彈簧常數𝒌𝜽,𝒆𝒒 (N-m/rad)

Ø   輸入外力 𝒇(𝒕) (N) 外力矩 𝑻(𝒕) (N-m)

Ø   初始條件初始位移𝒙𝟎 (m) 初始角度𝜽𝟎 (rad)

Ø   初始條件初始速度𝒗𝟎 (m/s) 初始角速度𝝎𝟎 (rad/s)

Ø   自然頻率𝝎𝒏=(𝒌𝒆𝒒/𝒎𝒆𝒒 ) (rad/s) 𝝎𝒏=(𝒌𝜽,𝒆𝒒 / 𝑱𝟎,𝒆𝒒 ) (rad/s)
𝒇𝒏 = 𝝎𝒏 / 𝟐𝝅 (Hz)

Ø   阻尼比𝝃 = 𝒄𝒆𝒒 / 𝒄𝒄  𝝃 = 𝒄𝜽,𝒆𝒒 /𝒄𝒄

Ø   臨界阻尼係數𝒄𝒄=𝟐(𝒎𝒆𝒒 𝒌𝒆𝒒)  𝒄𝒄=𝟐(𝑱𝟎,𝒆𝒒 𝒌𝜽,𝒆𝒒)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.07.06

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