《振動噪音科普專欄》「等效系統分析」:如何求得「懸臂軸」的「等效彈簧常數」?

這個單元要來探討的主題是:「等效系統分析(Equivalent System Analysis),探討如何求得「懸臂軸(cantilever shaft)的「等效旋轉彈簧常數(Equivalent rotational spring constant) 𝒌𝜽,𝒆𝒒

 

參閱圖示左上方,是一個原始系統:「懸臂軸」自由端具有圓盤質塊的系統。此質塊為一個圓盤,質量𝒎,在此系統,圓盤呈現如圖示的旋轉(rotational)或稱扭轉(torsional)運動,其DOF自由度 𝜽(𝒕),也就是圓盤的旋轉角度。

 

在先前單元,分別討論過:「懸臂樑(cantilever beam)以及「懸臂柱(cantilever column)的「等效彈簧常數𝒌𝒆𝒒。「懸臂樑」是沿著側向方向「平移(translational)振動,而「懸臂柱」是沿著的垂直軸向方向「平移」振動。本單元所探討的「懸臂軸(cantilever shaft),是以軸向為中心的「旋轉(rotational)振動。

 

如果,要分析此系統的振動情形,牽涉到複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析,在此介紹「等效系統分析」的理念,如圖示中間上方,將以SDOF單自由度的「等效系統(Equivalent System)來分析,其System 系統參數是:𝑱𝟎,𝒆𝒒 等效質量慣性矩(Equivalent mass polar moment of inertia) (kg-𝐦^𝟐) 𝒌𝜽,𝒆𝒒等效旋轉彈簧常數(Equivalent rotational spring constant) (N-m/rad)

 

要往下討論之前,先回顧先前單元主題:甚麼是「等效系統(Equivalent System)?以及為什麼要進行「等效系統分析(Equivalent System Analysis)?主要意義與目的,特別針對SDOF單自由度的「旋轉(rotational)振動系統,參閱圖片的下方系列圖示,說明如下:

 

1.      當取得了SDOF單自由度系統的「等效系統(Equivalent System):可取得System 系統參數:就是𝑱𝟎,𝒆𝒒𝒄𝜽,𝒆𝒒𝒌𝜽,𝒆𝒒,分別是「等效質量慣性矩(kg-𝐦^𝟐)、「等效旋轉阻尼係數(N-m / rad/s)、「等效旋轉彈簧常數(N-m/rad)

2.      推導得到系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM):除了System 系統參數以及Output 輸出參數,角度𝜽(𝒕)/角速度𝜽  ̇(𝒕)/角加速度𝜽  ̈(𝒕),還包括:Input 輸入參數:外力矩 𝑻(𝒕) (N-m),和兩個初始條件(IC),初始角度:𝜽𝟎 (rad),和初始角速度:𝝎𝟎 (rad/s)

3.      進而可以進行「模態分析(modal analysis):可以得到「模態參數(modal parameter):「自然頻率(natural frequency) 𝒇𝒏 (Hz)以及「阻尼比(damping ratio) 𝝃

4.      評估「共振(resonance):即可據以評估結構系統是否有「共振」,也就是在比較探討外力 𝒇𝒆激振頻率(excitation frequency)和系統的𝒇𝒏自然頻率」。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

瞭解了進行「等效系統分析」的意義與目的,再回到原始系統:「懸臂軸」自由端具有圓盤質塊的「旋轉」振動系統,主要是不必進行複雜的、進階的連續系統(continuous system)分析,就可以快速分析判斷結構是否會有「共振」?

 

原始系統:「懸臂軸」自由端具有有圓盤質塊的系統。的系統參數包括:𝑳的長度 (m)𝒅的直徑 (𝐦)𝑮的剪力模數 (GPa),以及 𝑱的截面積極慣性矩 (𝐦^𝟒)。參閱圖示左下方,如果是圓形:𝑱=(𝝅𝒅^𝟒)/𝟑𝟐

 

另外,圓盤的系統參數包括:𝑯圓盤的厚度 (m)𝑫=𝟐𝑹圓盤的直徑 (𝐦)𝝆圓盤的密度 (kg/ 𝐦^𝟑)𝒎圓盤的質量 (kg),以及 𝑱𝟎圓盤的質量極慣性矩 (kg-𝐦^𝟐)。參閱圖示左下方,如果是圓盤:𝑱𝟎 = 𝝆𝑯 (𝝅𝑫^4)/𝟑𝟐 = (𝒎𝑫^𝟐)/𝟖 = 𝟏/𝟐 (𝒎𝑹^𝟐)

 

其次,要進行「等效系統分析」,對原始系統做了假設(assumptions),說明如下:

 

1.      圓盤為剛體(rigid body),質量𝒎圓盤質量極慣性矩:𝑱𝟎 = 𝟏/𝟐 (𝒎𝑹^𝟐)

2.      圓盤的質量𝒎,遠大於質量,所以,質量,可忽略,其密度 𝝆= 0

3.      會變形,是撓性體(flexible body),也就是彈性體(elastic body),需要定義𝑮:剪力模數。

 

接下來,參閱圖示左邊中間的懸臂自由端受力矩之角度變形示意圖,這是材料力學教科書可以找到的變形量分析,推導取得 𝒌𝜽,𝒆𝒒等效旋轉彈簧常數」步驟如下:

 

1.      分析懸臂自由端的角度變形量:𝜽=(𝑻𝑳)/ (𝑱𝑮)

2.      由旋轉彈簧常數的定義:𝒌𝜽 =𝑻/ 𝜽,也就是外力矩 𝑻 除以角度變形量 𝜽

3.      由步驟1.的角度變形量,做移項處理,可得:𝒌𝜽 =𝑻/ 𝜽 = 𝑱𝑮 /𝑳 = 𝒌𝜽,𝒆𝒒

 

其次,即可帶入 𝒇𝒏 方程式,如果,已知:𝑱𝟎,𝒆𝒒𝒌𝜽,𝒆𝒒,即可求得系統的 𝒇𝒏自然頻率」。在此系統,𝑱𝟎,𝒆𝒒 = 𝑱𝟎,所以,可明確求得系統的 𝒇𝒏

 

最後,由於取得了系統的 𝒇𝒏自然頻率」,可以和 𝒇𝒆激振頻率」比較探討。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。建議:採用20%原則,也就是:𝒇𝒆 < 𝟎.𝟖 𝒇𝒏,或 𝒇𝒆 > 𝟏.𝟐 𝒇𝒏

 

綜合這個單元的討論,進行的是「等效系統分析(Equivalent System Analysis),探討如何求得「懸臂軸(cantilever shaft)的「等效旋轉彈簧常數(Equivalent rotational spring constant) 𝒌𝜽,𝒆𝒒。統整的分析流程步驟理念如下:

 

1.      探討原始系統:「懸臂柱」自由端具有圓盤質塊的系統。

2.      進行「等效系統分析」:定義「等效系統」的單自由度等效彈簧質塊系統」,其System 系統參數是:𝑱𝟎,𝒆𝒒 等效質量慣性矩 𝒌𝜽,𝒆𝒒等效旋轉彈簧常數」。

3.      分析得到:𝒌𝜽,𝒆𝒒等效旋轉彈簧常數」以及 𝑱𝟎,𝒆𝒒 等效質量慣性矩」。

4.      進而,可以推算系統的 𝒇𝒏自然頻率」。

5.      評估「共振(resonance):系統的 𝒇𝒏自然頻率」再和 𝒇𝒆激振頻率」比較,可以評估「共振(resonance)。如果,𝒇𝒆𝒇𝒏,就會「共振」,反之,就沒有「共振」。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.07.06

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