《振動噪音科普專欄》甚麼是自由度(degree-of-freedom, DOF)?


這個單元要來探討的主題是:甚麼是「自由度(degree-of-freedom, DOF)

 

通則來說,「自由度(DOF)6個:

 

1.      3個方向位移/平移自由度(displacement DOF)𝒙,𝒚,𝒛

2.      3個方向旋轉自由度(rotational DOF)𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛

 

參閱圖示左下方,呈現質塊/質點之「自由度(DOF)

 

1.          𝒙:是𝒙方向的位移/平移自由度」。

2.          𝒚:是𝒚方向的位移/平移自由度」。

3.          𝒛:是𝒛方向的位移/平移自由度」。

4.          𝜽𝒙:是𝒙方向的旋轉自由度」。

5.          𝜽𝒚:是𝒚方向的旋轉自由度」。

6.          𝜽𝒛𝒛方向的旋轉自由度」。

 

要注意的是,方向的定義,是採用「右手定則」,說明如下:

 

1.      位移/平移自由度 𝒙,𝒚,𝒛 的順序與方向定義:以右手的四隻手指順著𝒙,𝒚方向旋轉,拇指的方向就是𝒛。若是,右手的四隻手指順著𝒚,𝒛方向旋轉,拇指的方向就是𝒙

2.      旋轉自由度𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛的順序與方向定義:以右手拇指朝向𝒙方向,四隻手指的方向,代表的就是𝜽𝒙旋轉方向。若是,以右手拇指朝向𝒚方向,四隻手指的方向,代表的就是𝜽𝒚旋轉方向。

 

在前一個單元:#312如何進行一個結構系統的振動分析?】,有看過【搖頭娃娃】的振動解析流程。參閱圖示中間圖示,「實際結構」是一個【搖頭娃娃】示意圖,主要結構就是一個質塊與彈簧,【搖頭娃娃】受到敲擊、或拉扯後,娃娃頭的質塊會有跳動情形。所以,質塊會有3個方向位移/平移「自由度」:𝒙,𝒚,𝒛,以及3個方向旋轉「自由度」:𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛

 

如果要對這個【搖頭娃娃】進行振動分析,需要對「實際結構」進行「數學建模(mathematical modeling),以取得【搖頭娃娃】的「數學模型(mathematical model),在此舉兩個「數學模型」,分別說明如下:

 

1.      SDOF黏滯阻尼系統」:觀察圖示右上方,以一個質量塊𝒎,代表【搖頭娃娃】的質塊,分別以一個彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄,代表【搖頭娃娃】的垂直方向彈簧效應。因此,就可以定義此系統的「自由度」是 𝒚(𝒕),代表垂直方向的位移。也可定義作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是 𝒇(𝒕)。所以,這個系統就是一個「單自由度(single degree-of-freedom, SDOF)系統。

2.      2DOF黏滯阻尼系統」:觀察圖示右下方,以一個質量塊𝒎,代表【搖頭娃娃】的質塊。分別以一個彈簧常數𝒌𝒙和黏滯阻尼係數𝒄𝒙,代表【搖頭娃娃】的水平方向的彈簧效應。因此,就可以定義此質量塊𝒎的「自由度」是 𝒙(𝒕),代表水平方向的位移。也可定義作用在質量塊𝒎上的水平方向外力是 𝒇𝒙(𝒕)。如果,也要考慮【搖頭娃娃】在垂直方向的運動狀態,就要定義垂直方向的彈簧常數𝒌𝒚和黏滯阻尼係數𝒄𝒚,代表【搖頭娃娃】的垂直方向的彈簧效應。因此,就可以定義此質量塊𝒎的「自由度」是 𝒚(𝒕),代表垂直方向的位移。也可定義作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是 𝒇𝒚(𝒕)。所以,這個系統就是具有「雙自由度(two degree-of-freedom, 2DOF)系統。

 

綜合一下這個單元,主要在探討:甚麼是「自由度」?重點如下:

 

1.      質塊/質點之「自由度(degree-of-freedom, DOF):通則會有6DOF3個方向位移/平移自由度(displacement DOF)𝒙,𝒚,𝒛,以及3個方向旋轉自由度(rotational DOF)𝜽𝒙,𝜽𝒚,𝜽𝒛

2.      以「實際結構」的【搖頭娃娃】為例,說明對這個【搖頭娃娃】進行振動分析時,所需要建構「數學模型(mathematical model)的方式。

 

建構【搖頭娃娃】的「數學模型(mathematical model),及其「數學建模(mathematical modeling)的思考過程,有對應說明兩個「數學模型」,彙整如下:

 

1.      SDOF黏滯阻尼系統」:一個「單自由度(single degree-of-freedom, SDOF)系統,系統的參數是質量塊𝒎,彈簧常數𝒌和黏滯阻尼係數𝒄。「自由度」是 𝒚(𝒕),代表垂直方向的位移。作用在質量塊𝒎上的垂直方向外力是 𝒇(𝒕)

2.      2DOF黏滯阻尼系統」:具有「雙自由度(two degree-of-freedom, 2DOF)系統。系統的參數是質量塊𝒎,彈簧常數𝒌𝒙𝒌𝒚,黏滯阻尼係數𝒄𝒙𝒄𝒚,分別代表水平和垂直向的𝒌𝒄。「自由度」是𝒙(𝒕) 𝒚(𝒕),分別代表水平和垂直方向的位移。作用在質量塊𝒎上的水平和垂直方向外力是 𝒇𝒙(𝒕)𝒇𝒚(𝒕)

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2023.04.08









 

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