《振動噪音科普專欄》不同窗函數對具有庫倫阻尼響應之頻譜分析,有甚麼影響?(1)

 

這個單元要來探討的主題是:不同窗函數對具有庫倫阻尼(Coulomb Damping)響應之頻譜分析,有甚麼影響(1)?這是庫倫阻尼」系列的第6篇,也是不同窗函數影響探討的第一部分。

 

在前一個單元:#285庫倫阻尼SDOF系統自由振動之暫態響應的頻譜,有甚麼特徵?】,主要在分析觀察「庫倫阻尼SDOF系統,在「自由振動(free vibration)狀態的系統時間波形暫態響應,對其進行頻譜分析」可以得到對應的「頻譜(spectrum),並且探討了「頻譜」的特徵。

 

不過,在應用FFT快速傅立業轉換(fast Fourier transform),進行「頻譜分析(spectral analysis),並不是那麼單純,還有一些「控制參數(control variables)要考慮,例如:「窗函數(window / weighting function)以及FFT分析參數等。相關資訊,讀者可參考先前單元:#180FFT系列:如何確認FFT頻譜分析程式的正確性?】。

 

在這個「庫倫阻尼」系列,一直在探討的是「庫倫阻尼SDOF系統,參閱圖示左上方,系統參數包括:𝒎=質量 (kg)𝒄=黏滯阻尼係數 (N / m/s)𝒌=彈簧常數 (N/m)𝝁=摩擦係數。

 

由「庫倫阻尼SDOF系統示意圖,可以推導得到「庫倫阻尼SDOF系統的運動方程式(Equation of Motion, EOM):通式如下:𝒎𝒂+𝒄𝒗+𝒌𝒙=𝒇(𝒕)+𝑭𝒔(𝒕)。其中,𝑭𝒔(𝒕)=摩擦力」。

 

在單元:#285,探討了實際的數值分析案例作說明,設定:𝒎=1 (kg)𝒄=0 (N-s/m)𝒌=39.48 (N/m),則自然頻率 𝒇𝒏= 1 (Hz)。令𝒇(𝒕)=0𝒙𝟎 = 1 (m)𝒗𝟎=𝟎 (m/s),而 𝝁=𝟎.2所以是單獨的庫倫阻尼」效應的自由振動狀態。進行了暫態響應分析」,就可以得到系統的時間域響應。

 

參閱右上方的位移𝒙(𝒕)時間波形,對之進行FFT頻譜分析」,可以得對應的位移頻譜𝑿(𝒇),取其絕對值|𝑿(𝒇)|如圖示。由圖示右上方的ISOC系統方塊圖」的理念,說明如下:

 

1.      Input 輸入𝒙(𝒕) 是一個信號的時間波形(time waveform)

2.      System 系統:就是進行FFT快速傅立業轉換(fast Fourier transform)的「頻譜分析(spectral analysis)

3.      Output 輸出𝑿(𝒇) 𝒙(𝒕) 的「傅立業頻譜(Fourier spectrum)

4.      Control variables控制參數:包括「窗函數(window)的選用,以及FFT分析參數。相關背景知識,可參考先前單元#106典型的Window視窗加權函數有哪些?】,#179:【FFT系列:FFT分析參數 Fmax LOR 對量測信號之影響?】。

 

典型常用的「窗函數」,摘錄自單元#106,說明如下:

 

1.      Rectangle (Box) window矩形窗函數:在一個time frameBox window數值都是1,也就是相當於沒有加權的效果。

2.      Hanning window漢寧窗函數:在一個time frameHanning window呈現接近一個半正弦波的特性,「加權後的信號」,可以看出兩端的數值都為零,使得起始點與終點的數值相同,可以降低洩漏(leakage)的效應。Hanning window常用於隨機信號的頻譜分析,可以得到不錯的頻率解析及其振幅解析。

3.      Flat-top window平頂窗函數Flat-top window對於頻率解析度,是最不好的一種。但是,在頻率對應振幅的解析是最優的,甚至可以得到幾乎完全正確的振幅。因此,對於標準振動源的加速度規校正、或是標準音源的麥克風校正,都是單一頻率的簡諧波,非常有用。

4.      Exponential window指數窗函數Exponential window的加權函數,係由σ衰減率(decay rate)控制,或是由τ時間常數(time constant)為「衰減率」的倒數來設定其指數視窗加權函數w(t)的波形。對於「衰減型的信號」,如果在一個time frame的時間區間,信號沒有衰減到零,這時,就需要施予Exponential window,可以降低時間域信號的truncation error截斷誤差」影響,以免頻譜會有「柵欄效應(fence effect)的產生。

 

FFT分析參數,在本單元的分析設定:「取樣頻率fs = 10,000 Hz,「取樣時間T = 6 10 sec

 

參閱圖示中間的4個圖示,分別是使用4種「窗函數」,對時間波形作加權處理(weighting)的對照,紅色點線段表示各別「窗函數」的時間波形。藍色是原始的時間波形,而綠色是以「窗函數」加權處理後的時間波形。

 

參閱圖下方的4個圖示,分別是使用4種「窗函數」,進行FFT頻譜分析」,所得到對應的位移頻譜𝑿(𝒇),都以絕對值|𝑿(𝒇)|呈現。

 

首先,觀察不同「取樣時間T = 6 10 sec的比較,都以Box window窗函數加權處理,比較探討如下:

 

1.      T = 6 sec:在f = 1 (Hz),有一個波峰(peak)出現,其振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.4198 m,因為,時間波形的振盪頻率是系統的「自然頻率𝒇𝒏= 1 (Hz)。又,因為時間波形有衰減現象,所以,沿著波峰(peak)兩側都有類似洩漏(leakage)現象,這是合理的頻譜特徵。

2.      T = 10 sec:其位移頻譜|𝑿(𝒇)|T = 6 sec時,很相似,但是,|𝑿(𝒇=1)|= 0.2519 m,小於T = 6 sec時,因為「取樣時間」長,在5~10 sec之間,響應幾乎為零,所以,在「取樣時間」內的平均總能量變小了。

 

其次,在相同的「取樣時間T =10 sec比較以4種「窗函數」加權處理的頻譜,比較探討如下:

 

1.      Box window:一個波峰(peak),振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.2519 m。振幅值取對數座標,呈現單純的SDOF系統響應。

2.      Hanning window:一個波峰(peak),振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.1496 m。振幅值取對數座標,呈現出135奇數倍的簡諧倍頻(harmonics)

3.      Flat top window:兩個波峰(peak),振幅值是|𝑿(𝒇=0.8)|= 0.0922 m。振幅值取對數座標,呈現出135奇數倍的簡諧倍頻(harmonics)

4.      Exponential window:一個波峰(peak),振幅值是|𝑿(𝒇=1)|= 0.1340 m。振幅值取對數座標,呈現單純的SDOF系統響應。

 

綜合來說,在這個數值分析案例,對位移𝒙(𝒕)時間波形,以4種「窗函數」加權處理所得到的頻譜來看:

 

1.      Box window的頻譜:最能夠反應出實際的時間波形特徵。

2.      Hanning window的頻譜:對一般的隨機信號是最好的選擇,在此案例是衰減特徵的信號,振幅值降低了,同時,也顯現出奇數倍的簡諧倍頻(harmonics)特徵。

3.      Flat top window的頻譜:適用在單頻率沒有衰減的簡諧波,可以得到良好的振幅解析,在此案例,得到的頻譜,是不合理的結果。

4.      Exponential window的頻譜:是適用於衰減特徵的信號,不過,由於在「取樣時間」內,信號已經衰減到零,Exponential window反而加重了阻尼效應,所以,解析的振幅值會更小。

 

最後,統整一下,由以上討論,進行FFT頻譜分析」,要注意兩個「控制參數」的選用:(1) 窗函數(window / weighting function)(2)取樣頻率fs和「取樣時間T

 

針對此案例,在相同的「取樣頻率fs = 10,000 Hz,「取樣時間T = 10 sec設定,「窗函數」的選用結論:

 

1.      Box window取得頻譜,最好,最能夠顯示出時間波形的特徵。

2.      Hanning window也是不錯的選項,畢竟在實務上,不會是如本案例的簡單時間波形。

3.      Flat top window完全不適合。

4.      Exponential window反而加重了阻尼效應,所以,解析的振幅值會更小。但是,如果信號在「取樣時間」內,沒有衰減到接近零,則Exponential window會是好的選擇。

 

以上個人看法,請多指教!

 

王栢村

2022.09.03

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